Equações de Madelung como um Problema de Sturm–Liouville

O texto apresentado neste livro fazia parte de um projeto cujo objetivo era aplicar as equações de Madelung no estudo dos vórtices do hélio líquido. O projeto foi descontinuado, porém disponibilizo parte dos estudos realizados na forma de livro para que ele possa eventualmente auxiliar alguém que queira se aventurar nessa área da Física.

Neste texto, consideramos soluções estacionárias e em duas dimensões para as equações de Madelung. Através do desenvolvimento das equações, obtém-se uma equação de Sturm-Liouville em coordenadas polares. Através da equação de Sturm-Liouville e aplicando condições adequadas, alguns problemas clássicos da Mecânica Quântica são resolvidos.

Conteúdo

• Equações de Madelung
• Potencial complexo do vórtice
• Desenvolvendo as Equações de Madelung
  • A equação de continuidade
  • A equação de Euler
  • A equação de Sturm-Liouville

• A condição de quantização de Feynman
• Fase da função de onda
• Os autovalores de energia
• Exemplos práticos
  • Partícula livre
  • Partícula confinada num disco unitário
  • Oscilador harmônico quântico isotrópico em duas dimensões

• Conclusão