Solução Numérica De Equações Diferenciais Para Precificação De Opções – Julio Cezar Alves Thomaz

Solução Numérica De Equações Diferenciais Para Precificação De Opções – Julio Cezar Alves Thomaz
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Resumo:

A formulação do problema de precificação de opções envolve uma parte significativa da teoria de processos estocásticos, incluindo equações diferenciais estocásticas. O primeiro esforço de aplicação da matemática, em vez da intuição, na avaliação de uma opção foi realizada por Louis Bachelier ainda em 1900. Nas décadas de 50 e 60, alguns outros pesquisadores também realizaram diversas tentativas. Uma parte do problema foi resolvida no fim da decáda de 1960 por Fischer Black, Myron Scholes e Robert C. Merton, brilhantes inovadores em finanças além de suas contribuições especificas à teoria das opções. A tese apresenta uma breve introdução, colocando questões pertinentes no mercado de derivativo como, “Qual é o prêmio justo para uma opção no Mercado de Capitais? Quanto vale um contrato de opção?”. O estudo em torno dessas questões teve uma evolução ao longo do tempo por diversas técnicas e abordagem apresentadas na introdução da tese. Porém verifica-se que ainda existe uma questão pertinente no mercado de opções que é, “Como avaliar uma opção Americana que pode ser exercida antecipadamente?”. Dado que os contratos de opções Americanas são modelados matematicamente por uma inequação variacional parabólica que não tem solução analítica, surge a necessidade de ulitização dos métodos numéricos para a aproximação da solução. Assim o objetivo da tese de mestrado “Solução Numérica de Equações Diferenciais para Precificação de Opções” é a análise numérica do modelo de Black e Scholes para precificação de opções Européias e Americanas. Seguindo a parte teórica estudada na tese, no segundo capítulo são apresentados alguns conceitos sobre a teoria financeira, base econômica e estatística. Inicia-se com um resumo do mercado financeiro, em especial o mercado de opção. Depois as variáveis pertinentes na modelagem de opções e suas influências no prêmio são discutidas. Conceitos da teoria estocástica são apresentados incluindo alguns fundamentos de probabilidade e de processo estocástico relevantes na modelagem financeira, que servem como base da modelagem matemática para o prêmio das opções Européias e Americanas. Ainda no segundo capítulo tem-se o estudo do principio da ausência de arbitragem e resultados gerais da modelagem de precificações apresentados por Mertron em 1973, que são importantes no estudo da condição final e das condições de contorno que devem ser satisfeitas pela equação (ou inequação) diferencial que modela as opções. No terceiro capítulo, é apresentado o modelo de Black e Scholes para o prêmio de opções Européias e sua generalização para os contratos de opções Americanas. Também são modelados contratos de opções Européias e Americanas, onde o investidor tem o direito de negociar dois ativos subjacentes, resultando em modelos de duas dimensões. No quarto capítulo da tese encontra-se a aplicação de métodos numéricos para obtenção da solução aproximada para a equação ou inequação parabólica que modela o prêmio da opção Européia ou Americana, respectivamente. São apresentadas aproximações por elementos finitos no domínio espacial (ativos subjacentes) e por diferenças finitas no domínio temporal para os problemas de precificação de opções Européias e Americanas, em uma e duas dimensões. Também são apresentados aspectos importantes para a solução dos problemas algébricos resultantes destas aproximações. No quinto capítulo encontram-se os resultados numéricos de simulações para opções Européias e Americanas, em uma e duas dimensões, onde se apresenta o estudo numérico para o truncamento do domínio, visando o estudo da influência do truncamento no domínio espacial, em valor máximo do ativo subjacente , no prêmio da opção previsto por aproximação via métodos de elementos finitos. Constata-se que, para um valor máximo do ativo subjacente maior ou igual a 1.5 vezes o preço de exercício , não existe mais influência significativa no prêmio da opção do truncamento. Outro estudo abordado é o da convergência da solução numérica do problema variacional aproximado para a solução analítica de Black e Scholes, verificando-se taxa ótima de convergência para os casos estudados. Seguindo a abordagem dos resultados numéricos tem-se a validação da modelagem computacional, confrontando a solução numérica do modelo matemático de Black e Scholes com os dados do mercado financeiro (mercado de opções). Os dados usados são de dois contratos de opções das ações da Telebrás PN negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA) com vencimentos em junho de 1997. Nos dois casos estudados, a solução numérica do modelo fornece resultados com diferenças de menos de um centavo para o valor de mercado. São também apresentadas simulações de contratos de opções que dão direito de negociação de um ou dois ativos subjacentes. Finalmente são apresentada as principais conclusões da tese e sugestões de futuros trabalhos com modelos mais realistas. Como, por exemplo admitir que a volatilidade empregada no modelo de Black.

Detalhes:

  • Categoria: Teses e dissertações
  • Instituição: LNCC/MODELAGEM COMPUTACIONAL
  • Área de Conhecimento: INTERDISCIPLINAR
  • Nível: Mestrado
  • Ano da Tese: 2005
  • Tamanho: 974.85 KB
  • Fonte: Portal Domínio Público

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